我的论文涉及非线性偏微分方程（PDE）数值解的收敛性与稳定性判定问题

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冯祺睿 2023年4月3日 0条评论

本人研三，毕业论文方向是“复杂流体动力学中的纳维-斯托克斯方程（N-S方程）简化模型的数值模拟”。目前在处理一个二阶非线性项时遇到了瓶颈，想向大家请教：

数值稳定性问题：我采用了有限差分法（FDM）进行空间离散，但在时间步迭代时，即便满足了常规的 CFL 条件（C=ΔxuΔt≤1），残差依然在第 500 步左右开始发散。
具体困惑：
- 对于非线性项 u∂x∂u，我尝试了中心差分和迎风格式（Upwind Scheme）。中心差分抖振严重，迎风格式虽然稳定但数值耗散（Numerical Diffusion）大得离谱，导致解的峰值被磨平了。
- 大家在处理这种强非线性耦合时，是倾向于使用非线性多重网格法（FAS）还是传统的 Newton-Raphson 迭代？
计算环境：使用 MATLAB 编写算法，核心代码涉及到大型稀疏矩阵的求逆。

附上我的能量演化曲线图和部分离散化公式。恳请各位大佬点拨！

score 0 · Answer 1 · 2023-04-19T08:56:24+00:00

非线性 PDE 的稳定性不能只看线性的 CFL 条件。建议：

先做一次冯·诺依曼稳定性分析（Von Neumann Stability Analysis），看看非线性项线性化后的增益因子。

针对非线性项产生的抖振，建议引入 TVD（Total Variation Diminishing）格式或者 WENO 格式。这些格式能在保持高阶精度的同时有效抑制非物理振荡。